“问题解决”教学模式中“数学实验”之浅见

顾新辉

江苏南通师范学校

一.什么是“问题解决”教学模式？

建构主义的数学学习观认为：数学学习的过程是学生借助于自身已有的认知结构，在外部环境的制约和影响下，能动地建构对客体的认识的过程，其间包括对知识的同化和顺应。“思维总是由问题所引起的”“是在分析问题、解决问题的过程中进行的。”有成效的建构活动总是建立在问题解决的基础之上，即从提出问题到解决问题的过程。问题解决是一个有向的，有目标的搜寻过程,是指要让学生不知道相关解法，甚至只是部分掌握的情况下，学会解决不熟悉的新问题。通过学生的观察、猜想、证明、归纳，以获得问题的解决。传统的“问题解决”教学模式的程序如下：

(1)激活旧知，提取认知固着点，(2)提出问题，激发认知失衡，

(3)明确问题，连结未知与已知，(4)形成假设，明晰认知策略，

(5)发现结论，解决认知矛盾， (6)变式训练，整合认知结构，

(7)进行练习, 巩固运用新知。

随着计算机技术的发展和它在教育、教学中的不断渗透，计算机辅助教学（CAI）也进入数学教学。利用其对图形、动画、文字、声音等功能方面强大的处理能力；利用其交互性、直观性等特点，可以极大地激发学生的学习兴趣，打破传统的单一教学模式，把学生由被动学习转化为主动学习，让学生积极主动的参与教学，充分发挥学生的主观能动性。事实证明，数学CAI对教学正在发挥其巨大的潜能。笔者认为在用CAI辅助数学教学时，传统的“问题解决”教学模式应加以改进，即加强在CAI 下的“数学实验”这一环节，以优化课堂教学结构。

二.什么叫CAI下的“数学实验”？

所谓CAI 下的“数学实验”，简单地说，就是借助相关的计算机辅助教学软件，如《几何画板》，《数学实验室》，《Mathcad》等提供的场所，让学生通过自身的实践，进行观察、猜想、分析、证明、引申有关定理的过程。

三. 为什么要加强CAI“数学实验”这一环节？

在数学研究中，数学家们需要反复实验才能发现规律，然后才是逻辑证明和严格表述。不过数学家过去依靠纸和笔作为实验的工具。而今天，数学家的许多研究已经广泛地用到了计算机，有名的“四色问题”就是借助计算机来完成证明的。

“兴趣是最好的老师”，传统的数学教学使得学生感到枯燥、乏味。而借助计算机进行辅助教学，可以充分发挥如下几方面的优势：

（1）用文字、图象、声音、动画等形式呈现，极大地调动学生的眼、耳、手、脑等器官，使学习内容变得生动有趣，容易理解、记忆、掌握。

（2）通过动画模拟、局部放大、过程演示等手段，将抽象问题具体化。

（3）强大的画图，作图功能，充分调动学生的视觉思维，激发学习兴趣和学习动机,从而帮助学生实践抽象的几何定理，理解抽象的几何概念，帮助教师发展学生思维，增强理论与实践的统一。

“数学作为一门抽象科学，依靠的是逻辑而不是观察来作为真理的标准。然而它运用观察、模拟甚至实验来作为发现真理的手段。”“数学实验”和物理实验、化学实验类似，都经历一个动手、动眼、动脑的过程。《几何画板》为我们提供了很好的“数学实验室”，它所作出的图形可以是动态的，可以在变动情况下保持不变的几何关系，充分实现数与形的相互渗透。

在CAI 下的“数学实验”这一环节可以嵌入“问题解决”教学模式的任何一个过程，可根据具体情况作具体处理。

四．在计算机辅助教育下的“问题解决”教育模式探讨举例

“数学实验”得到的结果是一种猜想，它可以提供解决问题的方向。由“数学实验”得到结论属浅层次解决问题，是否最终解决了问题要看具体目标是什么。如果要得到的是表象的规律性的结论，例如指数函数的图象的分类依据，那么就算问题解决。否则，要想最终解决问题，必须进行严格的理论证明（如动点的轨迹问题）。现就指数函数的图象教学举例如下：

在指数函数的教学中，传统的方法是就底数的几个有限的取值描图后就加以归纳，如取1，2，，其实只是把本质教给了学生。而在《几何画板》中，如图（1）只要用鼠标拖动点，就可以观察函数图象的动态变化。为此创设相应的问题情景如下：

①拖动点，指数函数的图象有何共同点和不同点？

②当底数>1时，函数的图象有何特征？

③当底数1>>0时，函数的图象有何特征？

这样，学生通过全方位的考察函数图象，很快得出书上的两种图象性质比较图的全部内容，有的同学甚至还提出的图象关于y轴对称；把相应的图象作关于直线y=x对称，便可得到对数函数的图象等结论。从而培养了学生地观察能力，比较能力，概括能力，综合能力。类似地此法也适用于三角函数的图象变换，解析几何中圆锥曲线统一定义的优化,立体几何中柱、锥、台几何体之间的关系等的教学。

图（1） 图（2）

课堂教学中，有时为了培养学生的发散思维，创造思维能力。当得到问题的一种解答后，并不能算最终解决问题。借助CAI下的“数学实验”，我们会得到更多的发现。特举“任意等分一条线段” （即数学上的“等分问题”）为例：

教师通常采用欧几里德在2500年前所用的方法来解决（把给定的未切过的直线与切过的直线类似），但借助《几何画板》这一“数学实验”室，David和Dan不囿于传统的方法，构造了“自古以来第二种等分线段的方法”。如图（2）F,H……分别为线段AB的二等分，三等分点……

五.对CAI 下的“问题解决”教学模式的若干认识：

(1)对于教师：教师从简单的知识传授者转变为学生活动的设计者、学习情景的设计师、学生学习过程中的导师和伙伴。平时考虑更多地应是如何设计教学情景、如何组织学生实验、如何组织学生交流……。而不是搞“题海战术”，“填鸭式”教学。在教给学生知识的同时，培养学生多方面的能力。教师不仅要授之于鱼，而且要授之于“渔”。

(2)对于学生：“眼过千遍不如手做一遍”。学生通过实验的方法自己动手操作，进行一次“数学实验”，并通过在实验中的观察、认识、发现、猜想、推理、证明等过程，培养分析问题、解决问题的能力，培养创新精神。学生不再是被动的听数学，而是通过计算机从听数学转变到动手“做”数学，以研究者的方式主动的参与包括发现、探索在内的知识获得的过程。

(3)师生沟通：师生间的交流不再受到时间和空间的限制，通过计算机网络实现信息的传输。校园网的建立，为广大师生的交流带来诸多方便。而网络教学则为师生提供了更加广阔的空间，如我国的“北京大学”等几所重点大学已开始实施网络教学,多媒体教学,通过电子邮件来解答学生的疑问.教育网的开通更加方便教育信息的传递.

(4)软件要求：目前市场上较好的数学辅助教学软件有《几何画板》、《Mathcad》、《Maple》、《JBMT》、《数学实验室》。其中的《几何画板》被誉为“二十一世纪的动态几何学”，是人教社向全国的中小学推广的辅助教学软件。虽然《几何画板》软件在功能上比较完善，但仍然存在一些弊端如：界面不美观（当被调入其它软件调用时）；文字不能改变颜色；不能求椭圆和直线的交点(可通过“假动作”来实现)等。笔者尝试用Authorware中的有关函数实现用第一定义画任意形状的椭圆、任意输入指数函数的底数画出相应的函数图象等，从而在界面上能和谐地嵌入有关教学课件，更好地体现数学中的美学艺术。

(5)教材影响：尤其是《解析几何》的内容编排和教学设计迫切需要改进。望有识之士发挥其聪明才智，创造一片给学生进行“数学实验”的绿地。让学生的思维更具灵活性，发散性，创造性。

注释[1]张洪杰,“《几何画板》优化圆锥曲线统一定义教学浅见”,数学通报2001.5

[2]Dan litchfiled,Dave Goldenhiem ,“欧几里德、费波那奇和画板”,几何画板参考手册(第四版)

[3]钭荣春,“明修栈道 暗渡陈仓”,数学通报,2001.5

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